Свод правил СП 268.1325800.2016 "Транспортные сооружения в сейсмических районах. Правила проектирования" (утв. приказом Министерства строительства и жилищно-коммунального хозяйства РФ от 16 декабря 2016 г. N 986/пр) стр. 12

Потенциальная энергия деформированной системы:

- в начале цикла

;

- в конце цикла

,

где k - коэффициент жесткости системы;

и - последовательные амплитуды колебаний.

Потеря энергии колебаний за один цикл

299 × 66 пикс.     Открыть в новом окне

, (Б.10)

Учитывая, что и ,

203 × 70 пикс.     Открыть в новом окне

. Следовательно,

243 × 54 пикс.     Открыть в новом окне

, (Б.11)

Искомый коэффициент поглощения связан с декрементом колебаний соотношением

. (Б.12)

График коэффициента поглощения в зависимости от декремента колебаний показан на рисунке Б.1.

1246 × 664 пикс.     Открыть в новом окне

По соотношению (Б.12) определяют зависимость, по которой определяется декремент колебаний при известном коэффициенте поглощения :

, (Б.13)

Б.4 Пример определения сейсмической нагрузки с учетом поглощения энергии колебаний демпферами

Приложение приведенных зависимостей показано ниже на примере расчета промежуточной опоры автодорожного путепровода, оборудованного гидравлическими демпферами.

Путепровод расположен в районе сейсмичностью 9 баллов. Неразрезное пролетное строение перекрывает два пролета, опираясь на продольно-подвижные опорные части на крайних опорах и на продольно-неподвижные опорные части на промежуточной опоре. Между концами пролетного строения и крайними опорами установлены гидравлические демпферы (по два демпфера на каждой опоре). Осевая нагрузка на один демпфер 5 тс, ход поршня в цилиндрах см. Принятая конструкция демпферов соответствует колебаниям пролетного строения относительно крайних опор при расчетной амплитуде относительных перемещений 10,6 см.

Расчетная схема секции включает в себя шесть масс, представляющих инерционные свойства фундамента, надфундаментных частей опоры и пролетного строения. Веса частей секции и расчетные скорости их колебаний при сейсмическом воздействии, найденные спектрально-модальным методом, приведены в таблице Б.1.

Таблица Б.1 - Массы и скорости колебаний секции путепровода

Номера частей секции, считая от плиты фундамента промежуточной опоры	Веса частей расчетной схемы , тс	Скорости горизонтальных колебаний масс , см/с
1	269,7	9,7
2	50,4	11,8
3	45,5	23,9
4	20,6	33,4
5	20,6	36,2
6	1854,0	38,1

Считая за начало цикла вертикальное положение промежуточной опоры, при котором кинетическая энергия системы достигает максимума, а потенциальная энергия, обусловленная деформациями конструкции, равна нулю, определяют кинетическую энергию

.

Из этого значения на энергию колебаний фундамента приходится , на энергию колебаний тела опоры выше обреза фундамента и на энергию колебаний пролетного строения .

Коэффициенты поглощения энергии колебаний определены по формулам (Б.8) и (Б.12) при относительном коэффициенте затухания h для фундамента 0,2, для опоры 0,1 и для пролетного строения 0,02.

Коэффициент h = 0,2 учитывает рассеяние энергии за счет сил внутреннего трения в массивной плите свайного ростверка и сил сопротивления грунта обратной засыпки пазух котлована, а также уход энергии в грунт ниже подошвы фундаментной плиты и потери на деформации столбов. Коэффициенту h = 0,2 соответствует декремент колебаний и коэффициент поглощения .

Потеря кинетической энергии телом опоры происходит за счет внутреннего трения в ее кладке и аэродинамического сопротивления. Коэффициенту h = 0,1 соответствуют декремент и коэффициент поглощения .

Потеря энергии колебаний пролетным строением вызывается трением в подвижных опорных частях и гашением в деформационных швах. Коэффициенту h = 0,02 соответствует декремент и коэффициент поглощения .

К этим потерям следует добавить поглощение энергии колебаний в четырех демпферах

, (Б.14)

где n - число демпферов;

A = 10,6 см - амплитуда колебаний пролетного строения;

S = 5 тс - рабочая нагрузка на один демпфер.

Общая потеря энергии за один цикл колебаний секции из промежуточной опоры и пролетного строения

247 × 25 пикс.     Открыть в новом окне

. (Б.15)

Вычисления по формуле (Б.15) позволяют найти потерю энергии . Эквивалентный коэффициент поглощения энергии в системе . Эквивалентный относительный декремент колебаний . Эквивалентный относительный коэффициент затухания .

По найденному h с использованием формулы (Б.1) определяют поправочный коэффициент к сейсмической нагрузке, учитывающий необратимые потери энергии при колебаниях средней секции путепровода , т.е. нагрузка за счет рассеяния энергии колебаний преимущественно в демпферах уменьшается на 7%.

Для снижения сейсмической нагрузки более чем на 7% необходимо увеличить способность демпферов рассеивать энергию колебаний системы. Например, можно использовать демпферы с осевой рабочей нагрузкой 10 тс вместо 5 тс. В этом случае потеря энергии в системе за первый цикл колебаний тсм. При этом характеристики затухания увеличатся до следующих значений: ; , h = 0,15, а коэффициент уменьшится до 0,71.

Следовательно, установка на путепроводе четырех демпферов с рабочей нагрузкой 10 тс на каждый агрегат позволяет уменьшить сейсмическую нагрузку на среднюю секцию сооружения, направленную вдоль его оси, на 29%.

Приложение В
(справочное)

Определение сейсмической нагрузки от масс сооружения в случае неравномерного распределения переносных ускорений

Для протяженных мостов переносные ускорения масс сооружения по длине объекта могут быть неодинаковыми. Различие переносных ускорений масс обусловлено неоднородностью пород, слагающих участок строительства, значительной протяженностью сооружения и конечной скоростью распространения сейсмических волн, в результате чего колебания грунта в основаниях соседних опор могут происходить в противоположных фазах или в одной фазе, но с различными амплитудами. В частности, переносные вертикальные ускорения масс балки жесткости висячего моста изменяются по длине пролета, если горизонтальные колебания пилонов происходят в противоположных фазах.

Колебания линейно деформируемой упругой системы, несущей n масс, определяются следующими матрицами:

1) С - квадратная порядка n матрица коэффициентов жесткости;

2) Т - то же, диссипации энергии колебаний;

3) М - диагональная порядка n матрица масс.

Возмущение системы задается вектором смещений масс при переносном движении, т.е. движении системы без учета ее деформаций силами инерции. Перемещения масс при относительном движении, обусловленном деформативностью элементов системы и опорных связей силами инерции, обозначают .

Уравнение колебаний масс выражает условие равновесия системы под действием сил инерции - , внутреннего трения - , упругости - и имеет вид