ar-net.ru 2 2 2
хи (ню), хи (ню), хи (ню) - квантили хи2 распределения
1-альфа 1-альфа/2 альфа/2 с ню степенями свободы
уровней 1-альфа, 1-альфа/2
и альфа/2 соответственно;
L, М - нижняя и верхняя границы интервала соответственно;
р - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в
заданный интервал [L, М];
q - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины
вне интервала [L, М ], причем q+р=1;
^ ^
p, q - точечные оценки р и q;
p , q - нижние односторонние доверительные границы для р и q;
L L
p , q - верхние односторонние доверительные границы для р и q;
M M
С - случайное событие: например, попадание случайной величины в
заданный интервал;
Prob{C} - вероятность случайного события С;
Сумма(x) - сумма выборочных значений.
5. Общие требования
5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач, а также процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:
- точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;
- точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;
- точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.
5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:
1) статистические и исходные данные;
2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б, В, Г), а также проведение вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;
3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.
5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.
5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что статистические и исходные данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.
5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.1 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).
Номера таблиц разделов 6, 7, 8 для решения соответствующих задач перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.
Таблица 5.1 - Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения (раздел 6)
+------------------------------------+----------------------------------+
| Задача оценки среднего значения | Номер таблицы |
| +-------------------+--------------+
| | D известна | D неизвестна |
+------------------------------------+-------------------+--------------+
|Оценка среднего | 6.1 | 6.2 |
| | | |
|Сравнение среднего значения с| 6.3 | 6.4 |
|заданным значением | | |
| | | |
|Сравнение двух средних | 6.5 | 6.6 |
| | | |
|Оценка разности двух средних | 6.7 | 6.8 |
+------------------------------------+-------------------+--------------+
+------------------------------------+----------------------------------+
Таблица 5.2 - Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии (раздел 7)
+-------------------------------------------------+---------------------+
| Задача оценки дисперсии | Номер таблицы |
+-------------------------------------------------+---------------------+
|Оценка дисперсии | 7.1 |
| | |
|Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с| 7.2 |
|заданным значением | |
| | |
|Сравнение двух дисперсий или двух стандартных| 7.3 |
|отклонений | |
+-------------------------------------------------+---------------------+
+-------------------------------------------------+---------------------+
Таблица 5.3 - Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале (раздел 8)
+-----------------------------------------------------------------------+
| Номер таблицы |
+-----------------------------------+-----------------------------------+
| D известна | D неизвестна |
+-----------------------------------+-----------------------------------+
| 8.2 | 8.3 |
+-----------------------------------+-----------------------------------+
+-----------------------------------------------------------------------+
Таблица 5.4 - Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале (раздел 8)
+----------------------+------------------------+-----------------------+
| Заданные границы | Искомая величина | Номер таблицы |
| интервала | | |
+----------------------+------------------------+-----------------------+
| L | p_L, q_M | 8.4 |
| | | |
| М | p_L, q_M | 8.5 |
| | | |
| L, M | p_L, q_M | 8.6 |
| | | |
| L | p_M, q_L | 8.7 |
| | | |
| М | p_M, q_L | 8.8 |
| | | |
| L, M | p_M, q_L | 8.9 |
+----------------------+------------------------+-----------------------+
+----------------------+------------------------+-----------------------+
5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые в настоящем стандарте не приведены.
6. Точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности
6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.
Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 1 Квантиль стандартного нормаль-|
| |ного закона распределения уровня (1 -|
| n = |альфа): |
| | |
| 2 Сумма значений наблюдаемых| u = |
|величин | 1-альфа |
| | |
| Сумма(х) = | 2 Квантиль стандартного нормального|
| |закона распределения уровня |
| 3 Известное значение дис-|(1-альфа/2): |
|персии: | |
| 2 | u = |
| сигма = | 1-альфа/2 |
| 0 | |
| | 3 Вычисляем: |
| 4 Выбранная доверительная| |
|вероятность: | _ 1 |
| | х = - Сумма(х) = |
| 1 - альфа = | n |
| | |
| | 4 Вычисляем: |
| | U |
| | 1-альфа |
| | К = -------------- = |
| | 1 кв.корень(n) |
| | |
| | 5 Вычисляем: |
| | U |
| | 1-альфа/2 |
| | К = -------------- = |
| | 2 кв.корень(n) |
| | |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
| |
|1 Точечная оценка параметра мю: |
| ^ _ |
| мю = x = |
| |
|2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для мю: |
| |
| _ _ |
| x - K сигма <= мю <= x + K сигма , |
| 2 0 2 0 |
| |
|3 Односторонние доверительные интервалы для мю: |
| |
| _ |
| мю <= х + K сигма или |
| 1 0 |
| _ |
| мю >= x - K сигма , |
| 1 0 |
+-----------------------------------------------------------------------+
|Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения |
|определяют по таблице А.1 приложения A. |
+-----------------------------------------------------------------------+