ar-net.ru лежащей левее точки u.
А.2 В первой колонке таблицы А.1 приведены значения аргумента u от 0,00 до 0,49, обозначенные буквой z. Во второй колонке приведены значения функции Ф (u) для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции Ф (u) для значений аргумента u от 0,5 и выше. При этом значение аргумента u находят как сумму z и значений: 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0.
Пример - Для u = 1,86 = (1,5 + 0,36) находим Ф (1,86) = 0,96856.
А.3 Значения функции Ф(u) для отрицательных значений аргумента u рассчитывают по формуле:
Ф(-u) = 1 - Ф(u). (А.3)
А.4 Значение квантили u_альфа уровня альфа находят как значение аргумента u, соответствующего значению функции Ф(u)=альфа.
Пример - Значению альфа=0,99 соответствует ближайшее табличное значение Ф=0,99010. По таблице А.1 для этого значения функции находят значение аргумента u:
u = 2,0 + 0,33 = 2,33
Таблица А.1 - Значения функции стандартного нормального закона распределения
+-------+--------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+
| z | Ф(z) |Ф(0,5+z) |Ф(1,0+z)|Ф(1,5+z)|Ф(2,0+z)|Ф(2,5+z)|Ф(3,0+z)|
+-------+--------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+
| 0,00 |0,50000 | 0,69146 |0,84134 |0,93319 |0,97725 |0,99379 |0,99865 |
| | | | | | | | |
| 0,01 |0,50399 | 0,69497 |0,84375 |0,93448 |0,97778 |0,99396 |0,99869 |
| | | | | | | | |
| 0,02 |0,50798 | 0,69847 |0,84614 |0,93574 |0,97831 |0,99413 |0,99874 |
| | | | | | | | |
| 0,03 |0,51197 | 0,70194 |0,84850 |0,93699 |0,97882 |0,99430 |0,99878 |
| | | | | | | | |
| 0,04 |0,51595 | 0,70540 |0,85083 |0,93822 |0,97932 |0,99446 |0,99882 |
| | | | | | | | |
| 0,05 |0,51994 | 0,70884 |0,85314 |0,93943 |0,97982 |0,99461 |0,99886 |
| | | | | | | | |
| 0,06 |0,52392 | 0,71226 |0,85543 |0,94062 |0,98030 |0,99477 |0,99889 |
| | | | | | | | |
| 0,07 |0,52790 | 0,71566 |0,85769 |0,94179 |0,98077 |0,99492 |0,99893 |
| | | | | | | | |
| 0,08 |0,53188 | 0,71904 |0,85993 |0,94295 |0,98124 |0,99506 |0,99896 |
| | | | | | | | |
| 0,09 |0,53586 | 0,72240 |0,86214 |0,94408 |0,98169 |0,99520 |0,99900 |
+-------+--------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+
| 0,10 |0,53983 | 0,72575 |0,86433 |0,94520 |0,98214 |0,99534 |0,99903 |
| | | | | | | | |
| 0,11 |0,54380 | 0,72907 |0,86650 |0,94630 |0,98257 |0,99547 |0,99906 |
| | | | | | | | |
| 0,12 |0,54776 | 0,73237 |0,86864 |0,94738 |0,98300 |0,99560 |0,99910 |
| | | | | | | | |
| 0,13 |0,55172 | 0,73565 |0,87076 |0,94845 |0,98341 |0,99573 |0,99913 |
| | | | | | | | |
| 0,14 |0,55567 | 0,73891 |0,87286 |0,94950 |0,98382 |0,99585 |0,99916 |
| | | | | | | | |
| 0,15 |0,55962 | 0,74215 |0,87493 |0,95053 |0,98422 |0,99598 |0,99918 |
| | | | | | | | |
| 0,16 |0,56356 | 0,74537 |0,87698 |0,95154 |0,98461 |0,99609 |0,99921 |
| | | | | | | | |
| 0,17 |0,56750 | 0,74857 |0,87900 |0,95254 |0,98500 |0,99621 |0,99924 |
| | | | | | | | |
| 0,18 |0,57142 | 0,75175 |0,88100 |0,95352 |0,98537 |0,99632 |0,99926 |
| | | | | | | | |
| 0,19 |0,57535 | 0,75490 |0,88298 |0,95449 |0,98574 |0,99643 |0,99929 |
+-------+--------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+
| 0,20 |0,57926 | 0,75804 |0,88493 |0,95543 |0,98610 |0,99653 |0,99931 |
| | | | | | | | |
| 0,21 |0,58317 | 0,76115 |0,88686 |0,95637 |0,98645 |0,99664 |0,99934 |
| | | | | | | | |
| 0,22 |0,58706 | 0,76424 |0,88877 |0,95728 |0,98679 |0,99674 |0,99936 |
| | | | | | | | |
| 0,23 |0,59095 | 0,76731 |0,89065 |0,95818 |0,98713 |0,99683 |0,99938 |
| | | | | | | | |
| 0,24 |0,59483 | 0,77035 |0,89251 |0,95907 |0,98745 |0,99693 |0,99940 |
| | | | | | | | |
| 0,25 |0,59871 | 0,77337 |0,89435 |0,95994 |0,98778 |0,99702 |0,99942 |
| | | | | | | | |
| 0,26 |0,60257 | 0,77637 |0,89617 |0,96080 |0,98809 |0,99711 |0,99944 |
| | | | | | | | |
| 0,27 |0,60642 | 0,77935 |0,89796 |0,96164 |0,98840 |0,99720 |0,99946 |
| | | | | | | | |
| 0,28 |0,61026 | 0,78230 |0,89973 |0,96246 |0,98870 |0,99728 |0,99948 |
| | | | | | | | |
| 0,29 |0,61409 | 0,78524 |0,90147 |0,96327 |0,98899 |0,99736 |0,99950 |
+-------+--------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+
| 0,30 |0,61791 | 0,78814 |0,90320 |0,96407 |0,98928 |0,99744 |0,99952 |
| | | | | | | | |
| 0,31 |0,62172 | 0,79103 |0,90490 |0,96485 |0,98956 |0,99752 |0,99953 |
| | | | | | | | |
| 0,32 |0,62552 | 0,79389 |0,90658 |0,96562 |0,98983 |0,99760 |0,99955 |
| | | | | | | | |
| 0,33 |0,62930 | 0,79673 |0,90824 |0,96638 |0,99010 |0,99767 |0,99957 |
| | | | | | | | |
| 0,34 |0,63307 | 0,79955 |0,90988 |0,96712 |0,99036 |0,99774 |0,99958 |
| | | | | | | | |
| 0,35 |0,63683 | 0,80234 |0,91149 |0,96784 |0,99061 |0,99781 |0,99960 |
| | | | | | | | |
| 0,36 |0,64058 | 0,80511 |0,91308 |0,96856 |0,99086 |0,99788 |0,99961 |
| | | | | | | | |
| 0,37 |0,64431 | 0,80785 |0,91466 |0,96926 |0,99111 |0,99795 |0,99962 |
| | | | | | | | |
| 0,38 |0,64803 | 0,81057 |0,91621 |0,96995 |0,99134 |0,99801 |0,99964 |
| | | | | | | | |
| 0,39 |0,65173 | 0,81327 |0,91774 |0,97062 |0,99158 |0,99807 |0,99965 |
+-------+--------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+
| 0,40 |0,65542 | 0,81594 |0,91924 |0,97128 |0,99180 |0,99813 |0,99966 |
| | | | | | | | |
| 0,41 |0,65910 | 0,81859 |0,92073 |0,97193 |0,99202 |0,99819 |0,99968 |
| | | | | | | | |
| 0,42 |0,66276 | 0,82121 |0,92220 |0,97257 |0,99224 |0,99825 |0,99969 |
| | | | | | | | |
| 0,43 |0,66640 | 0,82381 |0,92364 |0,97320 |0,99245 |0,99831 |0,99970 |
| | | | | | | | |
| 0,44 |0,67003 | 0,82639 |0,92507 |0,97381 |0,99266 |0,99836 |0,99971 |
| | | | | | | | |
| 0,45 |0,67364 | 0,82894 |0,92647 |0,97441 |0,99286 |0,99841 |0,99972 |
| | | | | | | | |
| 0,46 |0,67724 | 0,83147 |0,92785 |0,97500 |0,99305 |0,99846 |0,99973 |
| | | | | | | | |
| 0,47 |0,68082 | 0,83398 |0,92922 |0,97558 |0,99324 |0,99851 |0,99974 |
| | | | | | | | |
| 0,48 |0,68439 | 0,83646 |0,93056 |0,97615 |0,99343 |0,99856 |0,99975 |
| | | | | | | | |
| 0,49 |0,68793 | 0,83891 |0,93189 |0,97670 |0,99361 |0,99861 |0,99976 |
+-------+--------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+
|Примечание - z - значение аргумента u от 0,00 до 0,49. Значение|
|аргумента u от 0,50 и выше находят как сумму z и значений 0,5; 1,0; 1,5|
|и т.д. (см. обозначения граф таблицы). |
+-----------------------------------------------------------------------+
+-------+--------+---------+--------+--------+--------+--------+--------+
Приложение Б
(справочное)
Таблица значений квантилей распределения Стьюдента
Б.1 В таблице Б.1 приведены значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню) уровня альфа с ню степенями свободы.
Пример - Для ню =9 квантиль уровня aльфа = 0,99 имеет значение 2,821.
Б.2 Квантили уровня альфа=0,5 при любом ню равны нулю.
Б.3 Квантили уровня альфа<0,5 находят по формуле
t (ню) = - t (ню).
альфа 1-альфа
Б.4 Для промежуточных значений альфа, лежащих между двумя соседними табличными значениями альфа_1 и альфа_2:
альфа < альфа < альфа
1 2
значение квантиля t_альфа (ню) может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
t - t
альфа2 альфа1
t = (альфа - альфа ) [----------------] + t .
альфа 1 альфа - альфа альфа1
2 1
Пример - Для ню=9 требуется найти квантиль уровня aльфа=0,992. Полагаем, что альфа_1=0,99, альфа_2=0,995; находим по таблице Б.1 t_0,99=2,821, t_0,995=3,250 и вычисляем для степеней свободы ню=9.
3,250 - 2,821
t = (0,992 - 0,99)[--------------] + 2,821 = 2,9926.
0,992 0,995 - 0,99
Таблица Б.1 - Значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню)
+----+------------------------------------------------------------------------------------------------------+
| ню | Значения квантилей распределения Стьюдента t_альфа(ню) с ню степенями свободы для уровня альфа |
| +-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
| | 0,55 | 0,6 | 0,65 | 0,7 | 0,75 | 0,8 | 0,85 | 0,9 | 0,95 | 0,975 | 0,99 | 0,995 | 0,9995 |
+----+-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
| 1 | 0,158 | 0,325 |0,510 | 0,727 | 1,000 |1,376 | 1,963 |3,078 | 6,314 | 12,706 |31,821 |63,657 |636,619 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 2 | 0,142 | 0,289 |0,445 | 0,617 | 0,816 |1,061 | 1,386 |1,886 | 2,920 | 4,303 | 6,965 | 9,925 | 31,598 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 3 | 0,137 | 0,277 |0,424 | 0,584 | 0,765 |0,978 | 1,250 |1,638 | 2,353 | 3,182 | 4,541 | 5,841 | 12,924 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 4 | 0,134 | 0,271 |0,414 | 0,569 | 0,741 |0,941 | 1,190 |1,533 | 2,132 | 2,776 | 3,747 | 4,604 | 8,610 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 5 | 0,132 | 0,267 |0,408 | 0,559 | 0,727 |0,920 | 1,156 |1,476 | 2,015 | 2,571 | 3,365 | 4,032 | 6,869 |
+----+-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
| 6 | 0,131 | 0,265 |0,404 | 0,543 | 0,718 |0,906 | 1,134 |1,440 | 1,943 | 2,447 | 3,143 | 3,707 | 5,959 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 7 | 0,130 | 0,263 |0,402 | 0,549 | 0,711 |0,896 | 1,119 |1,415 | 1,895 | 2,365 | 2,998 | 3,499 | 5,408 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 8 | 0,130 | 0,262 |0,399 | 0,546 | 0,706 |0,889 | 1,108 |1,397 | 1,860 | 2,306 | 2,896 | 3,355 | 5,041 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 9 | 0,129 | 0,261 |0,398 | 0,543 | 0,703 |0,883 | 1,100 |1,383 | 1,833 | 2,262 | 2,821 | 3,250 | 4,781 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 10 | 0,129 | 0,260 |0,397 | 0,542 | 0,700 |0,879 | 1,093 |1,372 | 1,812 | 2,228 | 2,764 | 3,169 | 4,587 |
+----+-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
| 11 | 0,129 | 0,260 |0,396 | 0,540 | 0,697 |0,876 | 1,088 |1,363 | 1,796 | 2,201 | 2,718 | 3,106 | 4,437 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 12 | 0,128 | 0,259 |0,395 | 0,539 | 0,695 |0,873 | 1,083 |1,356 | 1,782 | 2,179 | 2,681 | 3,055 | 4,318 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 13 | 0,128 | 0,259 |0,394 | 0,538 | 0,694 |0,870 | 1,079 |1,350 | 1,771 | 2,160 | 2,650 | 3,012 | 4,221 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 14 | 0,128 | 0,258 |0,393 | 0,537 | 0,692 |0,868 | 1,076 |1,345 | 1,761 | 2,145 | 2,624 | 2,977 | 4,140 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 15 | 0,128 | 0,258 |0,393 | 0,536 | 0,691 |0,866 | 1,074 |1,341 | 1,753 | 2,131 | 2,602 | 2,947 | 4,173 |
+----+-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
| 16 | 0,128 | 0,258 |0,392 | 0,535 | 0,690 |0,865 | 1,071 |1,337 | 1,746 | 2,120 | 2,583 | 2,921 | 4,015 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 17 | 0,128 | 0,257 |0,392 | 0,534 | 0,689 |0,863 | 1,069 |1,333 | 1,740 | 2,110 | 2,567 | 2,898 | 3,965 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 18 | 0,128 | 0,257 |0,392 | 0,534 | 0,688 |0,862 | 1,067 |1,330 | 1,734 | 2,101 | 2,552 | 2,878 | 3,922 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 19 | 0,127 | 0,257 |0,391 | 0,533 | 0,688 |0,861 | 1,066 |1,328 | 1,729 | 2,093 | 2,539 | 2,861 | 3,883 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 20 | 0,127 | 0,257 |0,391 | 0,533 | 0,687 |0,860 | 1,064 |1,325 | 1,725 | 2,086 | 2,528 | 2,845 | 3,850 |
+----+-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
| 21 | 0,127 | 0,257 |0,391 | 0,532 | 0,686 |0,859 | 1,063 |1,323 | 1,721 | 2,080 | 2,518 | 2,831 | 3,819 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 22 | 0,127 | 0,256 |0,390 | 0,532 | 0,686 |0,858 | 1,061 |1,321 | 1,717 | 2,074 | 2,508 | 2,819 | 3,792 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 23 | 0,127 | 0,256 |0,390 | 0,532 | 0,685 |0,858 | 1,060 |1,319 | 1,714 | 2,069 | 2,500 | 2,807 | 3,767 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 24 | 0,127 | 0,256 |0,390 | 0,531 | 0,685 |0.857 | 1,059 |1,318 | 1,711 | 2,064 | 2,492 | 2,797 | 3,745 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 25 | 0,127 | 0,256 |0,390 | 0,531 | 0,684 |0,856 | 1,058 |1,316 | 1,708 | 2,060 | 2,485 | 2,787 | 3,725 |
+----+-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
| 26 | 0,127 | 0,256 |0,390 | 0,531 | 0,684 |0,856 | 1,058 |1,315 | 1,706 | 2,056 | 2,479 | 2,779 | 3,707 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 27 | 0,127 | 0,256 |0,389 | 0,531 | 0,684 |0,855 | 1,057 |1,314 | 1,703 | 2,052 | 2473 | 2,771 | 3,690 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 28 | 0,127 | 0,256 |0,389 | 0,530 | 0,683 |0,855 | 1,056 |1,313 | 1,701 | 2,048 | 2,467 | 2,763 | 3,674 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 29 | 0,127 | 0,256 |0,389 | 0,530 | 0,683 |0,854 | 1,055 |1,311 | 1,699 | 2,045 | 2,462 | 2,756 | 3,659 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 30 | 0,127 | 0,256 |0,389 | 0,530 | 0,683 |0,854 | 1,055 |1,310 | 1,697 | 2,042 | 2,457 | 2,750 | 3,646 |
+----+-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
| 40 | 0,126 | 0,255 |0,388 | 0,529 | 0,681 |0,851 | 0,050 |1,303 | 1,684 | 2,021 | 2,423 | 2,704 | 3,551 |
| | | | | | | | | | | | | | |
| 60 | 0,126 | 0,254 |0,387 | 0,527 | 0,679 |0,848 | 0,046 |1,296 | 1,671 | 2,000 | 2,390 | 2,660 | 3,460 |
| | | | | | | | | | | | | | |
|120 | 0,126 | 0,254 |0,386 | 0,526 | 0,677 |0,845 | 0,041 |1,289 | 1,658 | 1,980 | 2,358 | 2,617 | 3,373 |
| | | | | | | | | | | | | | |
|бес-| 0,126 | 0,253 |0,385 | 0,524 | 0,674 |0,842 | 0,036 |1,282 | 1.645 | 1,960 | 2,326 | 2,576 | 3,291 |
|ко- | | | | | | | | | | | | | |
|неч-| | | | | | | | | | | | | |
|ност| | | | | | | | | | | | | |
| ь | | | | | | | | | | | | | |
+----+-------+-------+------+-------+-------+------+-------+------+-------+--------+-------+-------+--------+
+----+------------------------------------------------------------------------------------------------------+
Приложение В
(справочное)
Таблица значений квантилей хи(2)_альфа распределения
В.1 В таблице В.1 приведены значения квантилей хи(2)_альфа(ню), т.е. квантилей хи(2) распределения уровня альфа с ню степенями свободы.
Пример - Для ню=9 и альфа=0,98 квантиль хи(2)_0,98=19,679.
В.2 Для промежуточных значений альфа, лежащих между двумя соседними табличными значениями альфа_1 и альфа_2:
альфа < альфа < альфа
1 2
значение квантиля хи(2)_альфа может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):
2 2
хи - хи
2 альфа2 альфа1 2
хи = (альфа - альфа )[--------------------] + хи .
альфа 1 альфа - альфа альфа1