Математическая обработка геодезических измерений

Насколько разнообразны виды геодезической деятельности, объекты и способы измерений, их количество, качество получаемых результатов, настолько разнообразен теоретический и математический аппарат, позволяющий все это выполнить. Если каждый из бывших студентов геодезическо-маркшейдерских специальностей вспомнит один из предметов под названием «МОМГИ», что означает математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений, то вспоминается ужас от обилия вновь вводимых критериев и понятий, набора новых способов вычислений с применением элементов до конца не доученных разделов высшей математики. 

Сейчас попробуем целостно структурировать основы МОМГИ. После всех полевых наблюдений полученная информация не используется в том виде, в котором зафиксирована в первичной документации. Используя свои теоретические знания и практические умения, специалисты выполняют ее математическую обработку. Под этим понимается целый комплекс преобразований и вычислений, полученной при измерениях числовой информации, представляющей практическую ценность. Почти все вычислительные действия осуществляются в камеральных условиях, за исключением тех, которые предусмотрены методикой и исполняются в момент измерений для оценивания и сравнения полученных значений. Одной из специфических составляющих в математической обработке выступают погрешности, которые возникают изначально в моменты замеров и требующие определенного учета и преобразований. Все они имеют неизбежность находиться в неопределенных пределах искажения. Конечные результаты после их расчетов сопровождаются также неопределенными искажениями. Помимо этого, во многих способах и методах существуют в завершении работ контрольные измерения, приводящие к избыточным измерениям. Они влекут за собой возникновение различных значений одних и тех же величин. Кто из геодезистов и маркшейдеров с этим не сталкивался? Да, все.

Таким образом, можно сделать вывод, что основной задачей математической обработки можно считать нахождение однозначных значений величин наиболее приближенных к истинным. Наряду с этим на практике геодезические и маркшейдерские измерения решают следующие задачи:

• определение необходимой точности измерений для практических целей;
• выбор оптимальных средств и методов работ для достижения требуемой точности;
• установление необходимых допустимых параметров (критериев), которые давали бы возможность судить о достаточной точности выполненных работ;
• выбор способов и методик обработки проведенных измерений с целью получения оптимальных значений результатов;
• определение точности выполненных замеров и качественной характеристики полученных результатов. 

Ориентировочный алгоритм вычислений 

Существует определенный общий алгоритм вычислительных операций с целью получения результатов. Независимо от того какие виды работ выполнялись, математическая обработка, включает в себя следующие этапы:

• предварительную математическую обработку измеренных величин. Она включает проверку первичной документации, информации в ней, выявление грубых ошибок, определение средних измеренных параметров. Далее вычисление их невязок, оценка качества в пределах требуемой точности, введение поправок в измеренные параметры;
• уравнительные операции, включающие определение поправок в вычисляемые формулы;
• завершение вычислений, которые сводятся к окончательному получению результатов после выполнения математического определения уравненных значений величин.
• Окончательный анализ полученных результатов вычислений и оценка точности выполненных работ.

Такой алгоритм действует практически при создании всех геодезических сетей, при предварительном проектировании и по окончании их построения. Рассмотреть весь спектр возможностей математической обработки не возможно в одной статье из-за разных постановочных задач и путей их решения. Но каждый геодезист практически всегда использует в своей работе две основные геодезические задачи (прямую и обратную), которые требуют знаний теории погрешностей и двух различных способов их решения.

Прямая геодезическая задача в теории ошибок

Основной идеей ее является определение искомых координат неизвестных пунктов с использованием измеренных длин сторон и углов, при наличии известных координат на исходном геодезическом пункте. Прямая геодезическая задача решается, например при проложении теодолитного хода. При измерениях в нем линейных и угловых величин им сопутствуют получение целого ряда погрешностей. После вычислений можно записать функции измеренных величин в следующем виде:

y_i =F_i (l_1, l_{2, … ,} l_n);

где l_1, l_{2, … ,} l_n – средние измеренные значения длин сторон,

Ряд известных погрешностей будет иметь такой вид: m₁, m_{2, … ,} m_n.

Истинные значения (L_i) этой функции возникают при появлении взамен промеренных величин (l_1, l_{2, … ,} l_n).

Y_i =F (L_1, L_1,…, L_n.)_,

Отсюда следует, что случайные ошибки определяются по формуле:

Е= y_{i -} Y_i,

Тогда СКП оцениваемой функции будет выглядеть:

M _y =√[EE]/n

Числовые значения их определяются по формуле:

M² _yi = f²₁m²₁ + f²₂m²₂ + . . . + f²_nm²_n = ∑ f²_im²_i.

Эта формула одна из основополагающих в теории погрешностей и математической обработке в геодезии. Она имеет название формула переноса погрешностей. С ее помощью производится решение задач и оценка точности любых необходимых функций по известным среднеквадратическим отклонениям их независимых аргументов.

При решении прямой задачи стоит вопрос определения допустимых параметров. Для этого принимают истинные или измеренные с высокой точностью, или заранее известные, как верные. В замкнутом теодолитном ходе можно принять за такие условия сумму всех измеренных углов и приращений координат.

∑ⁿ_j=1 β=180(n-2),

∑ⁿ_j=1 Δ x=0,

∑ⁿ_j=1 Δ γ=0.

где β_1, β_{2, … ,} β_n – средние значения измеренных углов;

n - количество углов.

Вследствие получения измерительных ошибок в углах и сторонах теодолитного хода, перечисленные выше три условия, как правило, не выполняются. Возникают угловые невязки (w_β) и невязки приращений (w_{x ;} w_y).

Функция измеренных угловых величин имеет общий вид:

y_i=F_i (β_1, β_{2, … ,} β_n);

Тогда равенство измеренных и истинных величин приобретает такой вид:

y_i=F_i (β_1, β_{2, … ,} β_n)=

То есть можно сделать вывод о том, что зная ошибки замеренных углов(m_i), можно определить погрешности суммы углов (M_y). В то же время она считается среднеквадратической погрешностью (CКП) невязки измерений. Допустимое значение к ней устанавливается исходя из формулы.

w_βдоп = k M_y,

где k - коэффициент кратности исходя из таблицы вероятности.

При выборе этого коэффициента, следует понимать следующее. Делая выбор в пользу единичного коэффициента следует, что все измеренные параметры с вероятностью более шестидесяти восьми процентов будут отсекаться. При выборе коэффициента равного двум, вероятность получения правильных замеренных параметров будет равна девяноста пяти процентам. А при выбранном коэффициенте три отсев грубых ошибок в промерах будет равен 0,3%. Вероятность допустимых отклонений возрастает до девяноста девяти процентов. В практике геодезических работ коэффициент кратности принимают от 2,0 до 2,5. В теоретических расчетах его выбирают равным трем (3,0).

Таким образом, обеспечиваются принципы необходимой точности и устанавливаются допуски, которые при контроле измеренных величин.

Обратная задача в теории ошибок 

Основной целью решения этой задачи считается определение длин сторон и их дирекционных углов по известным координатам пунктов сети.

В теории погрешностей дополнительными определяемыми данными будут выступать отклонения конкретных величин, групповые и средние ошибки. При решении обратной геодезической задачи возможно установление средних ошибок отдельных конкретных измерений с целью обеспечения заданной точности какой-то функции замеренных величин. Такая задача обычно возникает при решении соединительных треугольников во время проведения ориентирований шахтных стволов, при выполнении предрасчета общей средней погрешности смыкания капитальных выработок и других работах. В зависимости от требуемой производственной необходимости выполняются проектные и расчетные работы с задаваемой и ожидаемой точностью (M_ож). Допустимая погрешность (M_доп) устанавливается и утверждается как предельная ошибка (M_пред). Среднеквадратическая погрешность (M_xyz) имеет связь с предельной через известный вероятностный коэффициент кратности (k):

M_ож = M_доп = М_пред = kM_xyz ;

Коэффициент кратности считается своего рода степенью риска, которая устанавливается в расчетах маркшейдерских работ равным трем. Таким образом, получив общую среднеквадратическую ошибку, определяется требуемая точность выполнения полевых замеров отдельных параметров.