ar-net.ruТаблица 6.8 - Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных* дисперсиях
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| Первая Вторая | 1 Квантиль распределения Стьюдента|
| выборка выборка |уровня (1-альфа) с ню степенями |
| |свободы: |
| | |
| | t (ню) = |
|1 Объем n = n = | 1-альфа |
| выборки: 1 2 | |
| | 2 Квантиль распределения Стьюдента|
| |уровня (1-альфа/2) с ню степенями |
|2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=|свободы: |
| значений 1 2 | |
| наблюдаемых | t (ню)= |
| величин: | 1-альфа/2 |
| 2 2 | |
|3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=| 3 Вычисляем: |
| квадратов 1 2 | |
| значений | Сумма(х ) Сумма(х ) |
| наблюдаемых | _ 1 _ 2 |
| величин: | х = --------- = ; x =--------- = |
| | 1 n 2 n |
|4 Степени ню = n + n - 2 = | 1 2 |
| свободы: 1 2 | |
| | 4 Вычисляем: |
| | |
|5 Выбранная | _ 2 _ 2 |
| доверительная 1-альфа = |Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) = |
| вероятность: | 1 1 2 2 |
| | |
| | 2 2 1 |
| |= Сумма(х ) + Сумма(х )- --- x |
| | 1 2 n |
| | 1 |
| | |
| | |
| | 2 1 2 |
| |x (Сумма(х )) - ---(Сумма(х )) = |
| | 1 n 2 |
| | 2 |
| | |
| | 5 Вычисляем: |
| | |
| | (n + n ) |
| | 1 2 |
| | S = кв.корень(-------- x |
| | d n n |
| | 1 2 |
| | |
| | _ 2 _ 2 |
| | Сумма(х - х ) + Сумма(х - х ) |
| | 1 1 2 2 |
| |х --------------------------------) = |
| | n + n - 2 |
| | 1 2 |
| | |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Точечная оценка равности между средними значениями параметров мю и|
| 1 |
|мю для двух совокупностей: |
| 2 |
| ^ _ _ |
| (мю - мю ) = х - х . |
| 1 2 1 2 |
| |
|2 Двусторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ): |
| 1 2 |
| _ _ _ _ |
|(х - х ) - t (ню) S < (мю - мю ) < (x - x ) + t (ню) х |
| 1 2 1-альфа/2 d 1 2 1 2 1-альфа/2 |
| |
|x S . |
| d |
| |
|3 Односторонний доверительный интервал для разности (мю - мю ): |
| 1 2 |
| _ _ |
| (мю - мю ) < (x - x ) + t (ню) S или |
| 1 2 1 2 1-альфа d |
| _ _ |
| (мю - мю ) > (x - x ) - t (ню) S . |
| 1 2 1 2 1-альфа d |
| |
+-----------------------------------------------------------------------+
|Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1|
|приложения Б. |
+-----------------------------------------------------------------------+
+--------------------------------+--------------------------------------+
Пример - Пример тот же, что в 6.7, но дисперсии неизвестны, Применение этих оценок может встречаться чаще, чем применение оценок по 6.7, т.к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.
* Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.
7. Точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности
7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.
Таблица 7.1 - Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 2 |
| | 1 Квантили Хи распределения с ню|
| n = |степенями свободы уровней альфа, (1 -|
| |альфа), альфа/2 и (1-альфа/2) |
| 2 Сумма значений наблюдаемых |соответственно: |
|величин: | |
| | 2 |
| Сумма(х) = | Хи (ню) = |
| | альфа |
| 3 Сумма квадратов значений | |
|наблюдаемых величин: | 2 |
| | Хи (ню) = |
| 2 | 1-альфа |
| Сумма(х) = | |
| | 2 |
| 4 Степени свободы: | Хи (ню) = |
| | альфа/2 |
| ню = n-1 = | |
| | 2 |
| 5 Выбранная доверительная| Хи (ню) = |
|вероятность: | 1-альфа/2 |
| | |
| 1 - альфа = | 3 Вычисляем: |
| | |
| | _ 2 2 |
| | Сумма(х-х) = Сумма(х) - |
| | |
| | 2 |
| | - (Сумма(х))/ n = |
| | |
| | 4 Вычисляем: |
| | _ 2 |
| | 2 Сумма(х-х) |
| | S = ----------- = |
| | n - 1 |
| | |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
| |
|1 Точечные оценки дисперсии D и стандартного отклонения сигма генера-|
|льной совокупности: |
| 2 ^ 2 |
| D = S ; сигма = кв.корень(S) . |
| |
|2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D: |
| _ 2 _ 2 |
| Сумма(х-х) Сумма(х-х) |
| --------------- < D < ----------- . |
| 2 2 |
| Хи (ню) Хи (ню) |
| 1-альфа/2 альфа/2 |
| |
|3 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D: |
| _ 2 |
| Сумма(х-х) 2 |
| D > ------------- = сигма или (3) |
| 2 L |
| Хи (ню) |
| 1-альфа |
| |
| _ 2 |
| Сумма(х-х) 2 |
| D < ------------- = сигма . (4) |
| 2 M |
| Хи (ню) |
| альфа |
| |
| |
+-----------------------------------------------------------------------+
|* Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения|
|сигма являются корнем квадратным из значений границ доверительного|
|интервала дисперсии D. |
| 2 |
|Примечание - Квантили Хи распределения определяют по таблице В.1|
|приложения В. |
+-----------------------------------------------------------------------+
+--------------------------------+--------------------------------------+
Примеры
1 Оценка точности (среднее значение величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.
2 Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температура в печи).
Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то определяется точечная оценка сигма(2) или сигма, a если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то определяют интервальную оценку сигма(2) или сигма с верхней доверительной границей.
7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.
Таблица 7.2 - Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданным значением
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 2 |
| | 1 Квантили Хи распределения с ню|
| n = |степенями свободы уровней альфа, (1 -|
| |альфа), альфа/2 и (1-альфа/2) |
| 2 Сумма значений наблюдаемых|соответственно: |
|величин: | |
| | 2 |
| Сумма(х) = | Хи (ню) = |
| | альфа |
| 3 Сумма квадратов значений| |
|наблюдаемых величин: | 2 |
| | Хи (ню) = |
| 2 | 1-альфа |
| Сумма(х) = | |
| | 2 |
| 4 Заданное значение: | Хи (ню) = |
| 2 | альфа/2 |
| сигма = D = | |
| 0 0 | 2 |
| | Хи (ню) = |
| 5 Степени свободы: | 1-альфа/2 |
| | |
| ню = n - 1 = | 2 Вычисляем: |
| | |
| | _ 2 2 2 |
| |Сумма (х-х) = Сумма х - (Сумма х)/n = |
| | |
| | 3 Вычисляем: |
| 6 Выбранная доверительная| |
| вероятность: | _ 2 |
| | Сумма (х-х) |
| альфа = | ------------ = |
| | 2 |
| | сигма |
| | 0 |
| | |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
| 2 |
|Сравнение дисперсии D с заданным значением сигма или сравнение |
| 0 |
|стандартного отклонения сигма с заданным значением сигма : |
| 0 |
|1 Двусторонний случай: |
|Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного|
|значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
| _ 2 _ 2 |
|Сумма(х-х) 2 Сумма(х-х) 2 |
|------------ < Хи (ню) или ----------- > Хи (ню). |
| 2 альфа/2 2 1-альфа/2 |
|сигма сигма |
| 0 0 |
| |
|2 Односторонний случай: |
|а) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не более|
|заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
| |
| _ 2 |
|Сумма(х-х) 2 |
|------------ > Хи (ню); |
| 2 1-альфа |
|сигма |
| 0 |
| |
|б) предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не менее|
|заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если: |
| |
| _ 2 |
|Сумма(х-х) 2 |
|------------ < Хи (ню). |
| 2 альфа |
|сигма |
| 0 |
+-----------------------------------------------------------------------+
| 2 |
|Примечание - Квантили Хи распределения определяют по таблице В.1 |
|приложения В. |
+-----------------------------------------------------------------------+
+--------------------------------+--------------------------------------+
Примеры
1 Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т.е. известным параметром сигма_0) другого оборудования или технологического процесса.
2 Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т.е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением сигма_0.
7.3 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.
Таблица 7.3 - Сравнение дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| Первая Вторая |1. Вычисляем: |
| выборка выборка | |
| | _ 2 2 1 |
| |Сумма(х - х ) = Сумма(х - -- x |
| | 1 2 1 n |
|1 Объем n = n = | 1 |
| выборки: 1 2 | |
| | 2 |
| |x Сумма(x ) = |
|2 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=| 1 |
| значений 1 2 | |
| наблюдаемых | _ 2 2 1 |
| величин: |Сумма(х - х ) = Сумма(х )- --- x |
| 2 2 | 2 2 2 n |
|3 Сумма Сумма(х )= Сумма(х )=| 2 |
| квадратов 1 2 | 2 |
| значений |x(cумма(х )) = |
| наблюдаемых | 2 |
| величин: | |
| |2 Вычисляем: |
|4 Степени | _ 2 |
| свободы: | Сумма(х - х ) |
| | 2 1 1 |
| ню = n - 1= ; ню = n - 1= | S = -------------- = |
| 1 1 2 2 | 1 n - 1 |
| | 1 |
|5 Выбранный | _ 2 |
| уровень | Сумма(х - х ) |
| значимости: альфа= | 2 2 2 |
| | S = -------------- = |
| | 2 n - 1 |
| | 2 |
| | |
| |3 Квантили распределения Фишера: |
| | |
| | |
| | F (ню , ню ) = |
| | 1-альфа/2 1 2 |
| | |
| | F (ню , ню ) = |
| | 1-альфа 1 2 |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|Сравнение дисперсий двух совокупностей: |
|1 Двустороонний случай: |
|Предположение равенства дисперсий или равенства двух стандартных откло-|
|нений (нулевая гипотеза) отвергается, если: |
| |
| 2 2 |
| S S |
| 1 1 1 |
| ---- < -------------------- или ----- > F (ню , ню ). |
| 2 F (ню , ню ) 2 1-альфа/2 1 2 |
| S 1-альфа/2 2 1 S |
| 2 2 |
| |
| 2 Односторонний случай: |
| а) предположение о том, что D <= D (сигма <= сигма ) (нулевая гипоте- |
| 1 2 1 2 |
| за) отклоняется, если: |
| |
| 2 |
| S |
| 1 1 |
| ---- > --------------------; |
| 2 F (ню , ню ) |
| S 1-альфа/2 2 1 |
| 2 |
| |
| б) предположение о том, что D >= D (сигма >= сигма ) (нулевая гипоте-|
| 1 2 1 2 |
| за) отклоняется, если: |
| |
| 2 |
| S |
| 1 1 |
| ---- < --------------------; |
| 2 F (ню , ню ) |
| S 1-альфа/2 2 1 |
| 2 |
| |
+-----------------------------------------------------------------------+
|Примечание - Квантили распределения Фишера определяют по таблицам |
|Г.1 - Г.9 приложения Г. |
+-----------------------------------------------------------------------+
+--------------------------------+--------------------------------------+
Примеры
1 Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.
2 Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.
8. Точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале*
8.1 Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.
Таблица 8.1 - Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Среднее значение (математи-| 1 Пересчитанная для стандартного нор-|
|ческое ожидание): |мального закона эквивалентная нижняя|
| |граница интервала: |
| мю = | мю - L |
| 0 | L 0 |
| | u = -------- = |
| 2 Стандартное отклонение: | сигма |
| | 0 |
| сигма = | |
| 0 | 2 Пересчитанная для стандартного|
| |нормального закона эквивалентная|
| или дисперсия: |верхняя граница интервала: |
| | M - мю |
| 2 | M 0 |
| D = сигма = | u = -------- = |
| 0 0 | сигма |
| | 0 |
| 3 Границы интервала: | |
| | 3 Доля распределения случайной вели-|
| нижняя L = |чины, лежащая ниже границы L: |
| верхняя M = | |
| | L |
| | q = 1 - Ф(u ) = |
| | L |
| | |
| |Если значение L не задано, то q =0 |
| | L |
| | |
| | 4 Доля распределения случайной|
| |величины, лежащая выше границы М: |
| | |
| | М |
| | q = 1 - Ф(u ) = |
| | М |
| | |
| |Если значение M не задано, то q =0 |
| | М |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Доля распределения случайной величины вне интервала [L, M]: |
| |
| q = q + q . |
| L M |
| |
|2 Доля распределения случайной величины в интервале [L, M]: |
| |
| p = 1 - q . |
| |
+-----------------------------------------------------------------------+
| L M |
|Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (-u ) представляют собой значение|
|функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде-|
|ляют по таблице А.1 приложения А. |
+-----------------------------------------------------------------------+
+--------------------------------+--------------------------------------+
Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров мю и сигма(2) считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач по 8.2-8.9.
Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или на номинальное значение и известную точность сигма(2)_0.
* Доля распределения случайной величины в заданном интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл, используемый в данном стандарте, имеет понятие - "доля распределения случайной величины в интервале", хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для понятия "вероятность попадания случайной величины в интервал".
8.2 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.
Таблица 8.2 - Точечное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 1 Точечная оценка среднего значения: |
| | |
| n = | ^ 1 |
| | мю = --- Сумма(х) = |
| 2 Стандартное отклонение: | n |
| | |
| сигма = | |
| 0 | 2 Пересчитанная для стандартного|
| |нормального закона эквивалентные|
| или дисперсия |границы интервала: |
| | ^ |
| 2 | L мю - L |
| D = сигма = | нижняя u = ------ = |
| 0 0 | сигма |
| | 0 |
| 3 Сумма значений наблюдаемых| |
|величин: | ^ |
| | M M - мю |
| Сумма(х) = | верхняя u = ------ = |
| | сигма |
| 3 Границы интервала: | 0 |
| нижняя L = | |
| верхняя M = | 3 Точечная оценка доли распределения|
| |случайной величины, лежащей ниже|
| |границы L (см. таблицу 8.1): |
| | |
| | ^ L |
| | q = 1 - Ф (u ) = |
| | L |
| | |
| |Если значение L не задано, то q =0 |
| | L |
| | |
| | 4 Точечная оценка доли распределения|
| |случайной величины, лежащей выше гра-|
| |ницы М (см. таблицу 8.1): |
| | |
| | ^ М |
| | q = 1 - Ф(u ) = |
| | М |
| | ^ |
| |Если значение M не задано, то q =0 |
| | М |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала|
|[L, M] : |
| ^ ^ ^ |
| q = q + q . |
| L M |
| |
|2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале|
|[L, M]: |
| ^ ^ |
| p = 1 - q . |
+-----------------------------------------------------------------------+
| L M |
|Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (u ) представляют собой значение|
|функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде-|
|ляют по таблице А.1 приложения А. |
+-----------------------------------------------------------------------+
+--------------------------------+--------------------------------------+
Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.
8.3 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.
Таблица 8.3 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при неизвестной дисперсии
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 1 Точечная оценка среднего значения: |
| | |
| n = | ^ _ 1 |
| | мю = x - --- Сумма(х) = |
| 2 Сумма значений наблюдаемых| n |
|величин: | |
| | 2 Вычисляем: |
| Сумма(х) = | _ 2 2 2 |
| |Сумма(х-х ) Сумма(х )-(Сумма(х ))/n |
| |------------=----------------------- =|
| 3 Сумма квадратов значений| n - 1 n - 1 |
|наблюдаемых величин: | |
| 2 | 3 Точечная оценка стандартного |
| Сумма(х ) = |отклонения: |
| | |
| | _ 2 |
| | Сумма(х-х) |
| | S = кв.корень(-----------) = |
| | n - 1 |
| | |
| 4 Границы интервала: | 4 Пересчитанные для стандартного|
| нижняя L = |нормального закона эквивалентные гра-|
| верхняя M = |ницы интервала: |
| | ^ |
| | L мю - L |
| | нижняя u = ------- = |
| | S |
| | |
| | ^ |
| | M M - мю |
| | верхняя u = ------ = |
| | S |
| | |
| | 5 Точечная оценка доли|
| |распределения случайной величины,|
| |лежащей ниже границы L (см. |
| |таблицу 8.1): |
| | ^ L |
| | q = 1 - Ф (u ) = |
| | L |
| |Если значение L не задано, то q =0 |
| | L |
| | |
| | 6 Точечная оценка доли распределения|
| |случайной величины, лежащей выше гра-|
| |ницы М (см. таблиwe 8.1): |
| | ^ М |
| | q = 1 - Ф(u ) = |
| | М |
| | ^ |
| |Если значение M не задано, то q =0 |
| | М |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала|
|[L, M] : |
| ^ ^ ^ |
| q = q + q . |
| L M |
| |
|2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале|
|[L, M]: |
| ^ ^ |
| p = 1 - q . |
+-----------------------------------------------------------------------+
| L M |
|Примечание - Величины Ф (u ) и Ф (u ) представляют собой значение|
|функции стандартного нормального закона распределения, которые опреде-|
|ляют по таблице А.1 приложения А. |
+-----------------------------------------------------------------------+
+--------------------------------+--------------------------------------+
Пример тот же, что в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.
8.4 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.4.
Указанным в таблице 8.4 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в указанном интервале.
Примечание - Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины X и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска) L и М для случайной величины измеряют в тех же единицах величин, какие имеет случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т.п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.
Примеры