Национальный стандарт РФ ГОСТ Р 50779.21-2004 "Статистические методы. Правила определения и методы расчета статистических характеристик по выборочным данным. Часть 1. Нормальное распределение" (утв. постановлением Госстандарта РФ от 12 января 2004 г. N 3- Читать онлайн бесплатно стр. 6

1 Определение уровня несоответствий для показателя "толщина гальванопокрытия". Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

2 Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества "твердость после термической обработки". Требование (допуск) одностороннее: L=45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы q_M на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница p_L на долю продукции, соответствующей требованию, т.е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки p_L и q_M в отличие от точечных имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью 1 - альфа):

истинная доля годной продукции - не менее p_L;

истинная доля несоответствующей продукции - не более q_M.

Таблица 8.4 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

+-----------------------------------------------------------------------+
|Необходимые условия Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >= |
| M L |
| |
|>= 1 - альфа |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 1 Устанавливаем соответственно три|
| |пары доверительных вероятностей: |
| n = | |
| | j |
| 2 Сумма значений наблюдаемых| (1 - альфа ) = для мю и |
|величин: | мю |
| | |
| Сумма(х) = | j |
| | (1 - альфа ) = для сигма, причем|
| | сигма |
| 3 Сумма квадратов значений| |
|наблюдаемых величин: | j j |
| 2 | (1 - альфа )(1 - альфа ) = |
| Сумма(х ) = | мю сигма |
| | |
| 4 Степени свободы: | = 1 - альфа, |
| | |
| ню = n - 1 = | где j = 1, 2, 3, тогда |
| | |
| 5 Выбранная доверительная| 1 |
|вероятность: | альфа = 1/4 альфа; |
| | мю |
| 1 - альфа = | |
| | 2 |
| 6 Нижняя граница односторон-| альфа = 1/2 альфа; |
|него интервала: | мю |
| | |
| L = | 3 |
| | альфа = 3/4 альфа; |
| | мю |
| | |
| | j j |
| | альфа = (альфа - альфа )/ |
| | сигма мю |
| | |
| | j |
| | /(1 - альфа ). |
| | мю |
| | |
| | 2 Процедура доверительного оценивания|
| |среднего значения и стандартного от-|
| |клонения: |
| | 2.1 Интервальная оценка параметра мю|
| |с доверительной вероятностью |
| |1 - альфа : |
| | мю |
| | |
| | мю = х - l S |
| | L 1 |
| | |
| |(см. формулу (2) таблицы 6.2). |
| | |
| | 2.2 Интервальная оценка параметра|
| |сигма с доверительной вероятностью |
| |(1 - альфа ): |
| | сигма |
| | |
| | 2 |
| | сигма = кв.корень(сигма ) |
| | М М |
| | |
| |(см. формулу (4) таблицы 7.1). |
| | |
| |Примечание - Указанную процедуру пов-|
| |торяют три раза. |
| | |
| | 3 Интервальная оценка величины q при|
| |полученных значениях параметров мю и|
| |сигма - (см. таблицу 8.1): |
| | |
| | j |
| | q = |
| | M |
| | |
| | 4 После повторения процедуры по пунк-|
| |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: |
| | |
| | 1 2 3 |
| | q , q , q . |
| | M M M |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной|
|вероятности 1 - альфа: |
| |
| 1 2 3 |
| q = min {q , q , q }. |
| M M M M |
| |
|2 Нижняя доверительная граница для p: |
| |
| p = 1 - q . |
| L M |
+-----------------------------------------------------------------------+

+-----------------------------------------------------------------------+

8.5 Алгоритм определения верхней и нижней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М приведен в таблице 8.5.

Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.5 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

+-----------------------------------------------------------------------+
|Необходимые условия Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >= |
| M L |
| |
|>= 1 - альфа |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 1 Устанавливаем соответственно три|
| |пары доверительных вероятностей: |
| n = | |
| | j |
| 2 Сумма значений наблюдаемых| (1 - альфа ) = для мю; |
|величин: | мю |
| | |
| Сумма(х) = | j |
| | (1 - альфа ) = для сигма, причем|
| | сигма |
| 3 Сумма квадратов значений| |
|наблюдаемых величин: | j j |
| 2 | (1 - альфа )(1 - альфа ) = |
| Сумма(х ) = | мю сигма |
| | |
| 4 Степени свободы: | = 1 - альфа, |
| | |
| ню = n - 1 = | где j = 1, 2, 3, тогда |
| | |
| 5 Выбранная доверительная| 1 |
|вероятность: | альфа = 1/4 альфа; |
| | мю |
| 1 - альфа = | |
| | 2 |
| 6 Нижняя граница односторон-| альфа = 1/2 альфа; |
|него интервала: | мю |
| | |
| M = | 3 |
| | альфа = 3/4 альфа; |
| | мю |
| | |
| | j j |
| | альфа = (альфа - альфа )/ |
| | сигма мю |
| | |
| | j |
| | /(1 - альфа ). |
| | мю |
| | |
| | 2 Процедура доверительного оценивания|
| |среднего значения и стандартного от-|
| |клонения: |
| | 2.1 Интервальная оценка параметра мю|
| |с доверительной вероятностью |
| |1 - альфа : |
| | мю |
| | _ |
| | мю = х + l S |
| | L 1 |
| | |
| |(см. формулу (1) таблицы 6.2). |
| | |
| | 2.2 Интервальная оценка параметра|
| |сигма с доверительной вероятностью |
| |(1 - альфа ): |
| | сигма |
| | |
| | 2 |
| | сигма = кв.корень(сигма ) |
| | М М |
| | |
| |(см. формулу (4) таблицы 7.1). |
| | |
| |Примечание - Данную процедуру|
| |повторяют три раза. |
| | |
| | 3 Интервальная оценка величины q при|
| |полученных значениях параметров мю и|
| |сигма - (см. таблицу 8.1): |
| | |
| | j |
| | q = |
| | M |
| | |
| | 4 После повторения процедуры по пунк-|
| |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: |
| | |
| | 1 2 3 |
| | q , q , q . |
| | M M M |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной|
|вероятности 1 - альфа: |
| |
| 1 2 3 |
| q = min {q , q , q }. |
| M M M M |
| |
|2 Нижняя доверительная граница для p: |
| |
| p = 1 - q . |
| L M |
+-----------------------------------------------------------------------+

+-----------------------------------------------------------------------+

Пример - Определение уровня несоответствий для показателя "процент примесей" в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] и вне его приведен в таблице 8.6.

Указанным в таблице 8.5 способом определяют верхнюю доверительную границу q_M для доли распределения вне интервала [L, М], а также нижнюю доверительную границу p_L для доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.6 - Определение верхней q_M и нижней p_L доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)

+-----------------------------------------------------------------------+
|Необходимые условия: Prob {q <= q } >= 1 - альфа, Prob {p >= p } >= |
| M L |
| |
|>= 1 - альфа |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 1 Устанавливаем соответственно три|
| |пары доверительных вероятностей: |
| n = | |
| | j |
| 2 Сумма значений наблюдаемых| (1 - альфа ) = для мю и |
|величин: | мю |
| | |
| Сумма(х) = | j |
| | (1 - альфа ) = для сигма, причем|
| | сигма |
| 3 Сумма квадратов значений| |
|наблюдаемых величин: | j j |
| 2 | (1 - альфа )(1 - альфа ) = |
| Сумма(х ) = | мю сигма |
| | |
| 4 Степени свободы: | = 1 - альфа, |
| | |
| ню = n - 1 = | где j = 1, 2, 3, тогда: |
| | |
| 5 Выбранная доверительная| 1 |
|вероятность: | альфа = 1/4 альфа; |
| | мю |
| 1 - альфа = | |
| | 2 |
| 6 Границы интервала: | альфа = 1/2 альфа; |
| | мю |
| L = | |
| M = | 3 |
| | альфа = 3/4 альфа; |
| | мю |
| | |
| | j j |
| | альфа = (альфа - альфа )/ |
| | сигма мю |
| | |
| | j |
| | /(1 - альфа ). |
| | мю |
| | |
| | 2 Процедура доверительного оценивания|
| |среднего значения и стандартного от-|
| |клонения: |
| | 2.1 Интервальная оценка параметра мю|
| |с доверительной вероятностью |
| |1 - альфа : |
| | мю |
| | _ _ |
| | мю = х - l S; мю = х +l S. |
| | L 1 М 2 |
| | |
| |(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2). |
| | 2.2 Наихудшая точка мю': |
| | |
| |мю'= мю , если мю - А <=B - мю ; |
| | L L М |
| | |
| |мю'= мю , если мю - А > B - мю . |
| | М L M |
| | |
| | 2.3 Интервальная оценка параметра|
| |сигма с доверительной вероятностью |
| |(1 - альфа ): |
| | сигма |
| | 2 |
| | сигма = кв.корень(сигма ) |
| | М М |
| |(см. формулу (4) таблицы 7.1). |
| |Примечание - Данную процедуру|
| |повторяют три раза. |
| | |
| |3 Интервальная оценка величины q при|
| |полученных значениях параметров мю и|
| |сигма - (см. таблицу 8.1): |
| | j |
| | q = |
| | M |
| | |
| | 4 После повторения процедуры по пунк-|
| |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: |
| | |
| | 1 2 3 |
| | q , q , q . |
| | M M M |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной|
|вероятности 1 - альфа: |
| |
| 1 2 3 |
| q = min {q , q , q }. |
| M M M M |
| |
|2 Нижняя доверительная граница для p: |
| |
| p = 1 - q . |
| L M |
+-----------------------------------------------------------------------+

+-----------------------------------------------------------------------+

Пример - тот же, что в 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.

8.7 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L приведен в таблице 8.7.

Указанным в таблице 8.7 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.7 - Определение нижней q_L и верхней р_M доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

+-----------------------------------------------------------------------+
|Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >= |
| L M |
| |
|>= 1 - альфа |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки = | 1 Устанавливаем соответственно три|
| |пары доверительных вероятностей: |
| n = | |
| | j |
| 2 Сумма значений наблюдаемых| (1 - альфа ) = для мю и |
|величин: | мю |
| | |
| Сумма(х) = | j |
| | (1 - альфа ) = для сигма, причем|
| | сигма |
| 3 Сумма квадратов значений| |
|наблюдаемых величин: | j j |
| 2 | (1 - альфа )(1 - альфа ) = |
| Сумма(х ) = | мю сигма |
| | |
| 4 Степени свободы: | = 1 - альфа, |
| | |
| ню = n - 1 = | где j = 1, 2, 3, тогда: |
| | |
| 5 Выбранная доверительная| 1 |
|вероятность: | альфа = 1/4 альфа; |
| | мю |
| 1 - альфа = | |
| | 2 |
| 6 Нижняя граница односторон-| альфа = 1/2 альфа; |
|него интервала: | мю |
| | |
| L = | 3 |
| | альфа = 3/4 альфа; |
| | мю |
| | |
| | j j |
| | альфа = (альфа - альфа )/ |
| | сигма мю |
| | |
| | j |
| | /(1 - альфа ). |
| | мю |
| | |
| | 2 Процедура доверительного оценивания|
| |среднего значения и стандартного от-|
| |клонения: |
| | 2.1 Интервальная оценка параметра мю|
| |с доверительной вероятностью |
| |1 - альфа : |
| | мю |
| | _ |
| | мю = х + l S |
| | М 1 |
| | |
| |(см. формулу (2) таблицы 6.2). |
| | |
| | 2.2 Интервальная оценка параметра|
| |сигма с доверительной вероятностью |
| |(1 - альфа ): |
| | сигма |
| | |
| | 2 |
| | сигма = кв.корень(сигма ) |
| | L L |
| | |
| |(см. формулу (3) таблицы 7.1). |
| | |
| |Примечание - Данную процедуру|
| |повторяют три раза. |
| | |
| | 3 Интервальная оценка величины q при|
| |полученных значениях параметров мю и|
| |сигма - (см. таблицу 8.1): |
| | |
| | j |
| | q = |
| | L |
| | |
| | 4 После повторения процедуры по пунк-|
| |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: |
| | |
| | 1 2 3 |
| | q , q , q . |
| | L L L |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной|
|вероятности 1 - альфа: |
| |
| 1 2 3 |
| q = max {q , q , q }. |
| L L L L |
| |
|2 Нижняя доверительная граница для p: |
| |
| p = 1 - q . |
| M L |
+-----------------------------------------------------------------------+

+-----------------------------------------------------------------------+

Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.

8.8 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М приведен в таблице 8.8.

Указанным в таблице 8.8 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.8 - Определение нижней q_L и верхней р_M доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

+-----------------------------------------------------------------------+
|Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >= |
| L M |
| |
|>= 1 - альфа |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 1 Устанавливаем соответственно три|
| |пары доверительных вероятностей: |
| n = | |
| | j |
| 2 Сумма значений наблюдаемых| (1 - альфа ) = для мю и |
|величин: | мю |
| | |
| Сумма(х) = | j |
| | (1 - альфа ) = для сигма, причем|
| | сигма |
| 3 Сумма квадратов значений| |
|наблюдаемых величин: | j j |
| 2 | (1 - альфа )(1 - альфа ) = |
| Сумма(х ) = | мю сигма |
| | |
| 4 Степени свободы: | = 1 - альфа, |
| | |
| ню = n - 1 = | где j = 1, 2, 3, тогда: |
| | |
| 5 Выбранная доверительная| 1 |
|вероятность: | альфа = 1/4 альфа; |
| | мю |
| 1 - альфа = | |
| | 2 |
| 6 Нижняя граница односторон-| альфа = 1/2 альфа; |
|него интервала: | мю |
| | |
| M = | 3 |
| | альфа = 3/4 альфа; |
| | мю |
| | |
| | j j |
| | альфа = (альфа - альфа )/ |
| | сигма мю |
| | |
| | j |
| | /(1 - альфа ). |
| | мю |
| | |
| | 2 Процедура доверительного оценивания|
| |среднего значения и стандартного от-|
| |клонения: |
| | 2.1 Интервальная оценка параметра мю|
| |с доверительной вероятностью |
| |1 - альфа : |
| | мю |
| | _ |
| | мю = х - l S |
| | L 1 |
| | |
| |(см. формулу (2) таблицы 6.2). |
| | |
| | 2.2 Интервальная оценка параметра|
| |сигма с доверительной вероятностью|
| |(1 - альфа ): |
| | сигма |
| | |
| | 2 |
| | сигма = кв.корень(сигма ) |
| | L L |
| | |
| |(см. формулу (3) таблицы 7.1). |
| | |
| |Примечание - Данную процедуру|
| |повторяют три раза. |
| | |
| | 3 Интервальная оценка величины q при|
| |полученных значениях параметров мю и|
| |сигма - (см. таблицу 8.1): |
| | |
| | j |
| | q = |
| | L |
| | |
| | 4 После повторения процедуры по пунк-|
| |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: |
| | |
| | 1 2 3 |
| | q , q , q . |
| | L L L |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной|
|вероятности 1 - альфа: |
| |
| 1 2 3 |
| q = max {q , q , q }. |
| L L L L |
| |
|2 Нижняя доверительная граница для p: |
| |
| p = 1 - q . |
| M L |
+-----------------------------------------------------------------------+

+-----------------------------------------------------------------------+

8.9 Алгоритм определения нижней и верхней доверительных границ для доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] и вне его приведен в таблице 8.9.

Указанным в таблице 8.9 способом определяют нижнюю доверительную границу q_L для доли распределения вне интервала [L, M], а также верхнюю доверительную границу р_M для доли распределения случайной величины в заданном интервале.

Таблица 8.9 - Определение нижней q_L и верхней р_м доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, M] и вне его (дисперсия неизвестна)

+-----------------------------------------------------------------------+
|Необходимые условия: Prob {q >= q } >= 1 - альфа, Prob {p <= p } >= |
| L M |
| |
|>= 1 - альфа |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Статистические и исходные данные| Табличные данные и вычисления |
+--------------------------------+--------------------------------------+
| 1 Объем выборки: | 1 Устанавливаем соответственно три|
| |пары доверительных вероятностей: |
| n = | |
| | j |
| 2 Сумма значений наблюдаемых| (1 - альфа ) = для мю и |
|величин: | мю |
| | |
| Сумма(х) = | j |
| | (1 - альфа ) = для сигма, причем|
| | сигма |
| 3 Сумма квадратов значений| |
|наблюдаемых величин: | j j |
| 2 | (1 - альфа )(1 - альфа ) = |
| Сумма(х ) = | мю сигма |
| | |
| 4 Степени свободы: | = 1 - альфа, |
| | |
| ню = n - 1 = | где j = 1, 2, 3, тогда: |
| | |
| 5 Выбранная доверительная| 1 |
|вероятность: | альфа = 1/4 альфа; |
| | мю |
| 1 - альфа = | |
| | 2 |
| 6 Границы интервала: | альфа = 1/2 альфа; |
| | мю |
| L = | |
| M = | 3 |
| | альфа = 3/4 альфа; |
| | мю |
| | |
| | j j |
| | альфа = (альфа - альфа )/ |
| | сигма мю |
| | |
| | j |
| | /(1 - альфа ). |
| | мю |
| | |
| | 2 Процедура доверительного оценивания|
| |среднего значения и стандартного от-|
| |клонения: |
| | 2.1 Интервальная оценка параметра мю|
| |с доверительной вероятностью |
| |1 - альфа : |
| | мю |
| | _ _ |
| | мю = х - l S; мю = х +l S. |
| | L 1 М 2 |
| | |
| |(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2). |
| |2.2 Наихудшая точка мю': |
| | А+В |
| |мю'= мю , если мю > -----; (2.2.1) |
| | M M 2 |
| | |
| | А+В |
| |мю'= мю , если мю < -----; (2.2.2) |
| | L L 2 |
| | |
| | А+В |
| |мю'= -----, если формулы (2.2.1) и |
| | 2 |
| |(2.2.2) не выполняются. |
| | |
| | |
| | 2.3 Интервальная оценка параметра|
| |сигма с доверительной вероятностью|
| |(1 - альфа ): |
| | сигма |
| | 2 |
| | сигма = кв.корень(сигма ) |
| | L L |
| |(см. формулу (3) таблицы 7.1). |
| |Примечание - Данную процедуру|
| |повторяют три раза. |
| |3 Интервальная оценка величины q при|
| |полученных значениях параметров мю и|
| |сигма - (см. таблицу 8.1): |
| | j |
| | q = |
| | L |
| | 4 После повторения процедуры по пунк-|
| |там 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем: |
| | |
| | 1 2 3 |
| | q , q , q . |
| | M M M |
+--------------------------------+--------------------------------------+
|Результаты |
|1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной|
|вероятности 1 - альфа: |
| |
| 1 2 3 |
| q = max {q , q , q }. |
| L L L L |
| |
|2 Верхняя доверительная граница для p: |
| |
| p = 1 - q . |
| M L |
+-----------------------------------------------------------------------+

+-----------------------------------------------------------------------+

Приложение А

(справочное)

Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения

А.1 В таблице А.1 приведены значения функции стандартного нормального закона распределения Ф (u), рассчитываемой по формуле

1 2

- --- t

1 u 2

Ф(u) = ---------------- х интеграл l dt, (А.1)

кв.корень (2 пи) -бесконечность

т.е. значения площади y под кривой, рассчитываемой по формуле:

1 2

-- t

1 2

y = ---------------- l , (A.2)

кв.корень (2 пи)